On note $E_0$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb R[X]$ des polynômes pairs et $E_1$ celui des polynômes impairs.
Rappeler la définition d'une fonction paire, impaire. Donner la forme d'un polynôme pair, d'un polynôme impair.
On pose $\langle P \mid Q \rangle = \displaystyle \int_0^\pi P(\cos t)Q(\cos t)\mathrm{d}t$. Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire sur $\mathbb R[X]$.
Montrer que $E_0$ et $E_1$ sont orthogonaux pour ce produit scalaire.
On définit la suite de polynômes $(T_n)_n$ par $T_0 = 1$, $T_1 = X$ et, pour $n \geqslant 2$, $T_n = 2XT_{n-1} - T_{n-2}$. Calculer $T_2$ et $T_3$.
Écrire une fonction python prenant en argument un entier $n$ et renvoyant la liste des coefficients de $T_n$.
Montrer que, pour tout $n \in \mathbb N$ et tout $t \in \mathbb R$, $T_n(\cos t) = \cos(nt)$.
Montrer que la famille $(T_n)$ est orthogonale pour le produit scalaire précédemment défini.
Déterminer le projeté orthogonal de $X^2$ sur $\mathbb R_1[X]$.
Exercice 2 (sans préparation)
On considère une urne contenant $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On tire simultanément trois boules de cette urne et on note $X$, $Y$, $Z$ les numéros tirés, de façon que $X < Y < Z$.
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