Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

1. La fonction $x\longmapsto \dfrac{e^{-x}}{\sqrt{x^{2}-4}}$ est-elle intégrable sur $]2,+\infty[$ ?
2. Soit $a$ un réel strictement positif.
   La fonction $x\longmapsto \dfrac{\ln x}{\sqrt{1+x^{2a}}}$ est-elle intégrable sur $]0,+\infty[$ ?

Il s'agit de l'exercice 28 de la banque.

$\ex 2$

Soit $(a,b)\in \C^2$ et $f$ l'endomorphisme du $\R$-espace vectoriel $\C$ tel que :\[ \forall z \in \C,\; f(z)=az+b\bar{z} \]

1. Montrer que l'équation $f(z)=0$ admet une solution $z\in \C$ non nulle si et seulement si $|a|=|b|$.
   Indication : décomposer $a$, $b$ et $z$ dans la base $(1,i)$.
   On suppose maintenant que $a=e^{i\alpha}$ et $b=e^{i\beta}$, avec $(\alpha, \beta)\in \R^2$.
2. Déterminer les valeurs propres de $f$.
   Indication : écrire la matrice associée.
3. Déterminer $\alpha$ et $\beta$ tel que $f$ soit diagonalisable.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers