Prouver que : si $p \wedge a = 1 $ et $p\wedge b=1$, alors $p\wedge (ab)=1$.
Soit $p$ un nombre premier.
Prouver que $\forall k \in{[\!| 1,p-1|\!]}$, $p$ divise $\dbinom{p}{k}k!$ puis en déduire que $p$ divise $\dbinom{p}{k}$.
Prouver que: $\forall n \in{\mathbb{N}}$, $n^{p}\equiv n \:\mod p $. Indication : procéder par récurrence.
En déduire, pour tout entier naturel $n$, que : $ p \:\text{ne divise pas }\: n \Longrightarrow\: n^{p-1}\equiv 1 \mod p$.
Il s'agit de l'exercice 86 de la banque.
$\ex 2$
Calculer le rayon de convergence de la série entière $\sum\limits_{n\geq1} \frac{4^n(2n)!}{(2n+1)!} x^n$ et en déduire celui de $\sum\limits_{n\geq1} \frac{4^n(2n)!}{(2n+1)!} x^{2n+1}$. On note $S$ la somme de cette dernière série entière.
Justifier que $S$ est dérivable sur son disque ouvert de convergence. Calculer explicitement $S'(x)$, pour $x$ convenable, puis en déduire $S$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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