Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

 Pour tout $x$ $\in\mathbb{R}_{+}$ on défini $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}\mathrm{dt}$  et  $g(x)=\int_0^{+\infty}\frac{sin(t)}{x+t}\mathrm{dt}$

1)a)Donner le théorème de convergence dominée étendu à une famille indéxée par un paramètre réel.

   b)Justifier que $f$ est bien définie et déterminer sa limite en ${+\infty}$

2)Montrer que $f$ et $g$ sont continues sur  $\mathbb{R}_{+}$   et  $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^{*}_{+}$

3)Montrer que pour tout $x$ $\in\mathbb{R}{+}$  on a  $f(x)=g(x)$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers