Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1. Montrer que les parties connexes par arc de $ \mathbb{R}$ sont les intervalles.

Soit $ \Omega $ une partie de E.
On note (C) la propriété suivante : Pour toute fonction $ f : \Omega \rightarrow \{0 , 1\} $ continue sur $ \Omega $, $f$ est constante.

2. Montrer que si $\Omega$ est connexe par arc, alors $\Omega$ vérifie (C)

Soit $E= \mathbb{R}^2$ et $ \Omega = \{ (x, sin(\frac{1}{x}), x \in \mathbb{R}_{+}^{*} \}  \cup \{\{0\} \times [-1,1]\}$

3. a. Montrer que $\Omega$ vérifie (C)

b. Montrer que $\Omega$ n'est pas connexe par arc

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

3. $\Omega$ n'est pas connexe par arc, on remarque en revanche que c'est l'union de 2 parties connexes par arcs.

Commentaires divers