Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

1. Soit $X$ un ensemble, $\left( g_{n}\right) $ une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{C}$ et $g$ une fonction de $X$ dans $\mathbb{C}$.
   Donner la définition de la convergence uniforme sur $X$ de la suite de fonctions $\left(g_n\right)$ vers la fonction $g$.
2. On pose $f_{n}(x) =\dfrac{n+2}{n+1}\mathrm{e}^{-n x^{2}}\cos \left( \sqrt{n}x\right) $.
   1. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions $\left(f_{n}\right) $.
   2. La suite de fonctions $\left(f_{n}\right)$ converge-t-elle uniformément sur $\left[ 0,+\infty\right[$ ?  
   3. Soit $a>0$. La suite de fonctions $\left(f_{n}\right) $ converge-t-elle uniformément sur $[a,+\infty[$ ?  
   4. La suite de fonctions $\left(f_{n}\right)$ converge-t-elle uniformément sur $]0,+\infty[$?

Il s'agit de l'exercice 9 de la banque.

$\ex 2$

Soit $x$, $y$ et $z$ des nombres complexes non tous nuls. On pose : \[ M=\begin{pmatrix} x^2 & xy & xz\\ xy & y^2 & yz\\ xz& yz & z^2 \end{pmatrix} \]

1. Montrer qu'il existe une matrice $L\in \mathcal{M}_{3,1}(\C)$ telle que $M=L^{\top} L$.
2. Montrer que $M$ est diagonalisablesi et seulement si $x^2+y^2+z^2\neq 0$.
3. Montrer que, si $M$ n'est pas diagonalisable, alors elle est semblable à \[ \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]
4. Pour tout $p\in \N$, calculer $M^p$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers