Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

On note $\mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{C}\right)$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients complexes.   Pour $A=\left( a_{i,j}\right) _{\substack{ 1\leqslant i\leqslant n \\ 1\leqslant j\leqslant n}}\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{C}\right)$, on pose : $\left\Vert A\right\Vert =\underset{_{\substack{ 1\leqslant i\leqslant n \\ 1\leqslant j\leqslant n}}}{\max }\left\vert a_{i,j}\right\vert$.

1. Prouver que $||\:||$ est une norme sur $\mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{C}\right)$.
2.  Démontrer que: $\forall\:(A,B)\in \left( \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{C}\right)\right) ^2$, $\left\Vert AB\right\Vert \leqslant n\left\Vert A\right\Vert \left\Vert B\right\Vert $.
   Puis, démontrer que, pour tout entier $p\geqslant 1$, $\left\Vert A^{p}\right\Vert \leqslant n^{p-1}\left\Vert A\right\Vert ^{p}$.
3. Démontrer que, pour toute matrice $A\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{C}\right)$, la série $\displaystyle\displaystyle\sum \dfrac{A^{p}}{p!}$ est absolument convergente. Est-elle convergente ?

Il s'agit de l'exercice 61 de la banque.

$\ex 2$

Pour $n\in \N^\star$, on pose $u_n=\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k\sqrt{k}$.

1. Montrer que $\forall n \in \N^\star$, $u_{2n}=\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}}$.
2. Par une comparaison série-intégrale, montrer que $u_{2n}\sim \frac{\sqrt{2n}}{2}$.
3. En déduire un équivalent de $(u_n)$.
4. Pour tout $n\in \N^\star$, on pose $v_n=u_{n+1}+u_n$.
   Montrer que $\sum v_{n+1}-v_n$ converge et en déduire que $(v_n)$ converge.
5. Retrouver alors l'équivalent de $(u_n)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

L'étudiant ne se souvenait pas du tout de la dernière question : c'est une reconstitution vraisemblable.