Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit la matrice $A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}$

1. Démontrer que $A$ est diagonalisable de quatre manières:
   
   1. sans calcul,
   2. en calculant directement le déterminant $\text{det}(\lambda \mathrm{I}_3-A)$, où $\mathrm{I}_3$ est la matrice identité d'ordre 3, et en déterminant les sous-espaces propres,
   3. en utilisant le rang de la matrice,
   4. en calculant $A^2$.
2. On suppose que $A$ est la matrice d'un endomorphisme $u$ d'un espace euclidien dans une base orthonormée.
   Trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale.

Il s'agit de l'exercice 68 de la banque.

$\ex 2$

On définit : \[ (E)\colon t^2y''+4ty'+(2-t^2)y-1=0 \] \[ (H)\colon t^2y''+4ty'+(2-t^2)y=0 \]

1. Déterminer les solutions développables en série entière de $(E)$ sur $]0,+\infty[$.
2. Montrer que $g\colon t \mapsto -\dfrac{1}{t^2}$ est solution de $(E)$ sur $]0,+\infty[$.
   On admet que $h\colon t \mapsto \dfrac{{\rm sh}(t)}{t^2}$ est solution de $(H)$ sur $]0,+\infty[$.
3. Déterminer les solutions de $(E)$ sur $]0,+\infty[$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers