Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1: Fonction $\Gamma$ 

On définit :

$ \displaystyle \Gamma : ]0,+\infty[ \times ]0,+\infty[  \to \mathbb{R},\\ \quad x \mapsto \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \, dt $

1) Montrer que $\Gamma$ est correctement définie.

2) Montrer que $\Gamma$ est de classe $C^2$.

Exercice 2: Trace de la composée d'endomorphismes.

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ non nul.

Soit ($u,v$) $\in$ $S_+^2$.

1) Montrer que $\displaystyle tr( u \ o \ v) = \sum_{k = 1}^n  \lambda_k< u(e_k) | e_k>$ 

Avec $(e_1, e_2, ... e_n)$ une base de vecteurs propres de $v$.

Et $(\lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_n)$ les valeurs propres de $v$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

 Ex 2)1) Donne l'expression d'un vecteur $x$ de $E$ dans une base orthonormée de $E$.

Commentaires divers