Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $E$ un $\mathbf{R}$-espace vectoriel de dimension $n \geq 1$.
Soit $f,u$ et $v$ des endomorphismes de $E$.
Soit $\lambda$ et $\mu$ des réels.

On a : 

$f = \lambda u + \mu v$
$f^2 = \lambda^2u + \mu^2v$
$f^3 = \lambda^3u + \mu^3v$

1) Rappeler des résultats de diagonalisabilité à l'aide de polynômes. Montrer que $f$ est diagonalisable.

2) Si $0, \lambda \ \text{et} \ \mu$ sont distincts, montrer que $u$ et $v$ sont diagonalisables dans la même base de diagonalisation. 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Indication du correcteur à la 2) : Considère les deux premières lignes du système. 

Commentaires divers