Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

On pose : $\forall\:(x,y)\in\mathbb{R}^2\backslash \left\lbrace (0,0)\right\rbrace$, $f\left( x,y\right) =\dfrac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ et $f\left( 0,0\right) =0$.

1. Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{2}$.
2. Démontrer que $f$ admet des dérivées partielles en tout point de $\mathbb{R}^{2}$.
3. $f$ est-elle de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$? Justifier.

Il s'agit de l'exercice 33 de la banque.

$\ex 2$

Soit $E$ un espace euclidien et $u\in \mathcal{L}(E)$ tel que $u\circ u^\ast=u^\ast \circ u$
1.

1. 1. Montrer que, pour $\lambda \in \R$ valeur propre de $u$ et $x\in E_\lambda (u)$, on a $\|u^\ast(x)\|^2=\lambda^2 \|x\|^2$.
   2. Montrer que $u$ et $u^\ast$ ont les mêmes valeurs propres et les mêmes sous-espaces propres.
2. Montrer que les sous-espaces propres de $u$ sont orthogonaux entre-eux.
3. On suppose que $u$ est diagonalisable. Montrer que $u$ est symétrique.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers