Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\fbox{Exercice d'algèbre.}$

1. Soit $P\in \R[X]$. Trouver dans quel cas on a $P(\Q)\subset \Q$.
2. Soit $P\in \R[X]$ tel que $P(\Q)=\Q$ de degré $d\geq 2$, dont on suppose que tous les coefficients sont entiers. Soit $m\in \N^\star$ un nombre premier et $(a,b)\in \Z^\star \times \N^\star$ premiers entre-eux tels que $P(\frac{a}{b})=\frac{1}{m}$. Montrer que $m$ divise le coefficient dominant de $P$.
3. n conclure que, pour tout $P\in \R[X]$, $P(\Q)=\Q$ si et seulement s'il existe $(\alpha,\beta)\in \Q^\star \times \Q$ tel que $P=\alpha X+\beta$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Il semble que la question 2. ait été mal formulée dans le sujet, car l'examinateur a demandé de la passer au moment de l'oral. Celle qui est proposée ci-dessus est correcte.