Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\fbox{Exercice d'analyse.}$

On se donne $h\colon [-1,1]\rightarrow \R_+$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $h$ atteigne en $0$ un minimum strict non dégénéré (c'est-à-dire que $h''(0)\neq 0$) égal à $0$. Soit $g\colon [-1,1]\rightarrow  \R$ de classe $\mathcal{C}^1$. On définit, pour tout $t>0$ : \[ I_t=\int_{-1}^1 g(x)e^{-th(x)}{\rm d} x \]

1. Montrer que pour tout $0<\delta <1$, il existe $C_\delta$ tel que pour tout $t>0$ : \[ \left| I_t-g(0)\int_{-\delta}^{\delta} e^{-th(x)}{\rm d} x \right|\leq \frac{C_{\delta}}{t} \]
2. Montrer qu'il existe $C$ tel que pour tout $t>0$ : \[ \left| I_t-\frac{g(0)}{\sqrt{th''(0)}}\int_\R e^{-\frac{1}{2}\xi^2}{\rm d} \xi \right|\leq \frac{C}{t} \]

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

L'étudiant ayant passé cette épreuve a un doute sur le bien-fondé de la question 2., comme moi-même. Il s'orientait à l'oral vers une preuve de l'équivalence des termes formant la différence du membre de droite, mais n'a pas eu assez de temps pour éprouver cette idée.