Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit $n\in\mathbb{N}^\star$ et $E$ un ensemble possédant $n$ éléments. On désigne par $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$.

1. Déterminer le nombre $a$ de couples $(A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2$ tels que $A\subset B $.
2. Déterminer le nombre $b$ de couples $(A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2$ tels que $A\cap B=\emptyset $.
3. Déterminer le nombre $c$ de triplets $(A,B,C)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^3$ tels que $A$, $B$ et $C$ soient deux à deux disjoints et vérifient $A\cup B\cup C=E$.

Il s'agit de l'exercice 112 de la banque.

$\ex 2$

Soit $n\in \N^\star$ avec $n\geq 2$. Soit $(\alpha_1,\dots, \alpha_n)\in ]0,+\infty[^n$ tel que $\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i=1$. On définit : \[ f\colon (x_1,\dots , x_n)\in (\R_+)^n \mapsto \prod\limits_{i=1}^n x_i^{\alpha_i} \] \[ g\colon (x_1,\dots , x_n)\in (\R_+)^n \mapsto \sum\limits_{i=1}^n {\alpha_i}x_i \] Enfin on note $\Gamma=\{ (x_1,\dots , x_n)\in (\R_+)^n\mid g(x_1,\dots , x_n)=1 \}$

1. Montrer que $f$ admet un maximum $\mu$ sur $\Gamma \cap (]0,+\infty[)^n$.
2. Déterminer $\mu$ et $A$ tel que $f(A)=\mu$.
3. Montrer que $\forall (x_1,\dots , x_n)\in (\R_+)^n$,  $\prod\limits_{i=1}^n x_i^{\alpha_i}\leq \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers