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Epreuve Orale 8655

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2025

Filière : MP

Concours : Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Espace vectoriel normé - Polynôme - Variables aléatoires

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 : 

On munit R[X] du produit scalaire défini par : 

        equation

1) Démontrer qu'il existe une famille orthonormée de polynômes (Pn)nN à coefficient dominant strictement positif et telle que nNdeg(Pn)=n.

2) On veut montrer que, pour tout nN, Pn admet n racines distinctes x1,,xn dans ]1,1[ .

    a) Soit n>1. En raisonnant par l'absurde, montrer qu'il existe un polynôme A non constant et de signe constant sur [1,1] tel que A|Pn.

    b) Aboutir à une contradiction et conclure.

 

Exercice 2 :

Soit a>1.

equation

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N* tel que 

    equation

1 ) Montrer qu'on définit bien une loi de probabilité.

2) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que X admette une espérance ; calculer E(X) dans ce cas.

 

     equation

     equation

3) Soient i et j deux entiers naturels non nuls et distincts ; Ei et Ej sont-ils indépendants ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

 

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