Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1) Montrer que les parties connexes par arc de $\mathbb{R}$ sont les intervalles.

Soit E un espace vectoriel normé et $\Omega$ une partie de E

On dit que $\Omega$ vérifie la propriété $\mathcal{C}$ lorsque toute fonction continue $f : \Omega \to \{0,1\}$ est constante.

2) Montrer que si $\Omega$ est connexe par arc, alors $\Omega$ vérifie $\mathcal{C}$.

3) Soit 
$$\Omega = \left\{ \left( n, \sin\left(\frac{1}{n} \right) \right) ,\ n \in \mathbb{R}^*+ \right\} \cup \left\{ 0 \right\} \times [-1, 1]$$

3a) Montrer que $\Omega$ vérifie $\mathcal{C}$.

3b) Montrer que $\Omega$ n'est pas connexe par arc.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

3) faire un dessin

Commentaires divers