Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $p$ premier tel que $p \equiv 3 \bmod{4}$.

Soit $C = \{ y \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \mid \exists x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},\ y = x^2 \}$.

1) Sans le démontrer, donner le petit théorème de Fermat, puis montrer que $-1 \notin C$.

2) Donner une fonction qui donne la liste sans doublon des éléments de $C$ pour $p$ supposé premier.  
   Renvoyer pour $p = 23$.

3) Essayer pour plusieurs valeurs et conjecturer sur le cardinal de $C$.

4) Calculer pour différents $x$ dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et différents $p$ premiers,  
   et faire une conjecture sur la valeur de :
   $$ \frac{x^{\frac{p-1}{2}} - \prod_{a \in C \setminus \{0\}} (x + a)}{} $$

5) Démontrer la conjecture de la question 3.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers