Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s) 

On note $E$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ lipschitziennes $1$-périodiques.
On note pour $a\in\left ] 0,1\right]$ :

              $\displaystyle \|f\|_a = \sup\{|f(x)| ,\  x\in\R\} + \sup \left\{\dfrac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|^a},\ x\ne y\right\} $

1-  Montrer que $\|\cdot\|_a$ est une norme sur $E$ pour tout $a\in\left ] 0,1\right]$. 

2- Montrer que l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ de classe $\mathcal C^1$ et  $1$-périodiques est un fermé de $E$ pour la norme $\|\cdot\|_1$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Question 2 : À $x$ fixé, étudier la fonction $g_n$ définie pour $h\neq 0$ par :

                                    $g_n(h) =\dfrac{f_n(x+h) - f_n(x)}h$

Commentaires divers