Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit $f\in\mathcal C^2([0,1],\R)$ telle que $f(0)=0$ et $f''\geqslant 0$.

1. Montrer que :  $\displaystyle\int_0^1f^2(x)\,\mathrm dx\leqslant \int_0^1x^2f'^2(x)\,\mathrm dx$.

2.  On ne suppose plus $f$ de classe $\mathcal C^2$, mais seulement de classe $\mathcal C^1$ avec $f'$ croissante.
     Montrer que l'inégalité est toujours vraie.

$\ex 2$

Soit $A\in\mathfrak M_n(\R)$ telle que $A^3+A=0$.
Montrer que $\operatorname{rg}A$ est pair.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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