Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 n° 110 banque CCINP

Exercice 2

Soit $E=\mathbb{R}_n[X]$, muni du produit scalaire : $
\langle P, Q\rangle=\int_0^1 P(t) Q(t) \rm{d } t
$.

1. Soit $Q$ tel que
   $\forall x\in\R,\, 
   Q(x)=\int_0^1(x+t)^n P(t) \rm{d } t
   $
   Montrer que $
   Q \in E.$  On identifiera polynôme et application polynomiale associée.
   On note $u$ l'application définie par $u(P)=Q$.
   
2. Montrer que $u \in \mathcal{L}(E)$, puis que $u$ est bijective.
3. Pour tous $i, j \in\{0, \ldots, n\}, i \neq j$, calculer $\left\langle X^i, u(X^j)\right\rangle$. Que peut-on en déduire concernant $u$ ?
4. Montrer qu'il existe une base orthonormale ($P_0, P_1, \ldots, P_n$) de $E$ dans laquelle on exprimera $u(P)$. 
5. Exprimer la trace de $u$ en utilisant les $P_k$.
6. En déduire la trace de $u$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour la question 6. considérer pour tout $t\in \R$, le polynôme $Q_t(x)=(x+t)^n$.

Commentaires divers