Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

$\ex 1$

On pose $F(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{\text{e}^{x t} - 1} \, \text{d}t$.

1. Déterminer l'ensemble de définition de $F$ et étudier la continuité de $F$ sur cet ensemble.

2. Pour tout $x > 0$, justifier l'égalité $F(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 + n^2 x^2}$.

3. Déterminer la limite de $F$ en $+\infty$, puis un équivalent.

4. Déterminer la limite de $F$ en $0$, puis un équivalent.

$\ex 2$
Pour tout couple $(a, b) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0, 0) \}$, on pose $M(a, b) = \begin{pmatrix}  a^2 & a b & a b & b^2 \\   a b & a^2 & b^2 & a b \\   a b & b^2 & a^2 & a b \\   b^2 & a b & a b & a^2 \end{pmatrix}$.

1. Montrer que la matrice $M(a, b)$ est diagonalisable.

2. Trouver rapidement les éléments propres de la matrice $M(a, b)$.

3. Trouver tous les couples $(a, b)$ pour lesquels la suite de matrices $(M(a, b)^n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers la matrice nulle.