Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s):

Exercice Mathématiques Informatiques

 

Soit $n$ de $ \mathbb{N}^*$

On note $ \tau_n = \{ A \in S_n(\mathbb{R}), \forall (i,j) = [|1,n|]^2, a_{ij} = 0 ~~\text{ ou }~~ a_{ij} = 1, Tr(A) = 0 \}  $

1)Quel est le cardinal de $\tau_n$ ?

2) a) Coder une fonction prenant comme argument $n$ et donnant l'ensemble des matrices de $ \tau_n$ dans un tableau numpy.

(On donne une fonction venant d'un module prenant pour argument un entier N et une liste $F$ de valeurs qui créer une liste de toute les listes de taille N et dont les éléments sont dans $F$)

 

On note $J$ la matrice avec que des 1, $I_n$ la matrice unité, $U$ la matrice colonne de $ M_{n1}$ avec uniquement des 1

On dit qu'une matrice $A$ vérifie la propriété $(*)  $ si et seulement si $A \in \tau_n  $ et $ \exists d  \geq 1,~~ A^2 + A -(d-1)I_n =J$

 

b) Ecrire une fonction qui prend en argument une matrice $A$ de $\tau_n$ et renvoie True si A vérifie $(*)$  sinon False

 

Soit $A $ vérifiant $(*)$, on note $B = A^2$

3)

a) Montrer que $\forall i \in [|1,n|] ~~~b_{ii} = \text{nombre de 1 sur la ième ligne de A} $, puis que $ b_{ii} = d$

b) Montrer que $ AU = dU$

c) Montrer que $n = d^2 + 1 $  

 

 

4) Soit $ \lambda \in Sp(A)$

Montrer que $ \lambda \in \{d, \frac{-1-\sqrt{4d -3}}{2},\frac{-1+\sqrt{4d -3}}{2} \} $ 

 

5) Question où on devait montrer que d appartient à un ensemble précis et finie mais dont je ne me souviens pas du contenu

 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

4) Multiplier $ (*) $ par $X$, un vecteur propre de A associé à $ \lambda$, Et déduire que $\lambda$ vérifie une propriété par rapport au spectre de la matrice J. Lors de la disjonction de cas qui suit, concernant le cas où on s'intéresse à $ n $, utiliser le fait que le sous espace propre de $J$ associé à la valeur propre $n$ est engendré par $ U $ au  lieu de recalculer les racines du polynome comme pour l'autre cas.

Commentaires divers

Jury sympathique, à centrale on écrit sur les murs