Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$
 On pose : $\forall n\in\N,\ , \forall t\in\R,\ A_n(t)=\displaystyle\int_0^1\sin^2(2xt)\,x^{n-2}\,\mathrm dx$.
 Donner un équivalent de $A_n(t)$ quand $t\to +\infty$.
 
$\ex 2$

On pose $[X,Y]=XY-YX$ pour $X,Y\in \mathfrak M_2(\R)$.

1. Montrer que $\forall A,B,C\in\mathcal S_2(\R),\ [[A,B]^2,C]=0$ .
    (on calculera pour cela la transposée de $[A,B]$).

2. Est-ce toujours vrai avec $C\in \mathfrak M_2(\R)$ ?

3. Déterminer les $N\in \mathfrak M_2(\R)$ telles que $[N,C]=0$.
   (je crois que c'était déterminer les $A,B\in \mathfrak M_2(\R)$ tels que $[[A,B]^2,C]=0$, mais il m'a fait faire $[N,C]=0$ pour commencer).

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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