Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Exercice 1: (avec préparation)

Soit $(\alpha,\beta)\in (\mathbb R_+)^2$. Montrer qu'il existe $(C,\gamma)\in \mathbb R_+\times\mathbb R$ tel que pour tout $t>0$, $$\int_0^t\frac{1}{(1+t-\tau)^\alpha}\frac{1}{(1+\tau)^\beta}d\tau\leq Ct^{-\gamma}$$ On veillera à déterminer le plus grand $\gamma$ admissible et à justifier l'optimalité.

Exercice 2: (avec préparation)

Montrer que pour tout $(x,y,z)\in (\mathbb R_+)^3$ tel que $x+y+z=\displaystyle\frac{\pi}{2}$

$$\sin(x)\sin(y)\sin(z)\leq \frac{1}{8}$$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Je n'avais pas d'idée pour l'exercice 1, l'examinateur m'a conseillé de majorer simplement l'intégrande dans le cas $\alpha<1$ et $\beta<1$.

Pour l'exercice 2, j'ai voulu appliquer le théorème des extrema liés (celui du programme de prépa) mais je me suis embrouillé et l'examinateur m'a guidé vers une méthode de résolution "à la main". Il m'a demandé la nature géométrique de la figure décrite par la condition $x+y+z=\displaystyle\frac{\pi}{2}$ puis de faire un schéma.

Commentaires divers

Examinateur plus froid que celui d'algèbre. Il semblait, à première vue, porter peu d'attention à ce que je faisais et restait sur son ordinateur. Il n'était pas désagréable pour autant et appréciait toute sorte d'idée.