Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Exercice 1: (avec préparation)

Soit $M \in \mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice antisymétrique.

1.  Montrer que les valeurs propres complexes de $M$ sont imaginaires pures et en déduire que $P=(I_n+M)(I_n-M)^{-1}$ est bien définie.
2. Montrer que $P$ est une matrice orthogonale, de déterminant $\det(P)=1$ et que $-1\notin\text{Sp}(P)$.
3. Montrer que l'application $$\{M\in \mathcal M_n(\mathbb R),\ M^\top=-M\}\longrightarrow\{P\in \mathcal O_n(\mathbb R),\ -1\notin \text{Sp}(P)\}$$ $$M\longmapsto(I_n+M)(I_n-M)^{-1}$$ est une bijection. En déduire que si $P\in \mathcal O_n(\mathbb R)$ et $-1\notin \text{Sp}(P)$, alors $\det(P)=1$. Y a t-il une méthode plus directe pour le constater ?

Exercice 2: (sans préparation)

Soient $A,B\in \mathcal M_n(\mathbb Z)$ telles que $\det(A)$ et $\det(B)$ sont premiers entre eux.

Montrer qu'il existe deux matrices $U,V\in \mathcal M_n(\mathbb Z)$ vérifiant $AU+BV=I_n$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour la bijection, j'ai proposé de montrer l'injectivité et la surjectivité sans grand succès et l'examinateur m'a demandé si je connaissais une méthode plus directe.