Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1

Soit $ f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} $ une fonction continue telle que
\[
\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.
\]
Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}_+ $.

Exercice 2

Soit $f :  \left] -1, 1 \right[  \to \mathbb{R}$ définie par :
\[
f(x) = 
\begin{cases}
\dfrac{x}{\ln(1+x)} & \text{si } x \neq 0, \\
1 & \text{si } x = 0.
\end{cases}
\]

1) Montrer que :
    \[
    f(x) = \int_0^1 (1+x)^t \, dt.
    \]

2) Montrer que $f$ est développable en série entière sur $ \left] -1, 1 \right[ $, et exprimer ses coefficients $a_n$ en fonction d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à expliciter.

3) Étudier le signe des coefficients $a_n$.

4) Montrer que la série $\sum a_n $ converge.

5) Calculer la somme $ \sum a_n $.