Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice I

On considère une boule de centre $O$ de rayon $R$ possédant une conductivité $\lambda$. On suppose que la température ne dépend que de la distance $r$ au centre de la boule.

1) Définir $\vec{j}_Q$ le vecteur densité thermique. Donner sa  direction et les paramètres dont il dépend.
2) Donner la loi de Fourier, et déterminer le flux thermique  sortant d'une sphère de rayon $r$ centrée en $O$.
3) Soit $p$ la puissance thermique volumique développée par le   système. En faisant un bilan dans une coquille entre un rayon $r$ et un rayon $r+\mathrm{d} r$, montrer que

  \[ p = -\frac{\lambda}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r^2 \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} r}\right) \]

4) On pose $T(R) = T_0$. Donner le profil de température pour $0   \leq r \leq R$ .

5) On considère un essaim d'abeilles. Celles-ci se rassemblent pour  se réchauffer pendant l'hiver. On observe le profil de température   ci-contre. Le modèle décrit est-il valable ici? Donner la valeur de  $p$ sachant que $R= 10$ cm et $\lambda = 0,1 \, \mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}$.

Exercice II

On considère un photocopieur, qui forme l'image d'un document à photocopier sur un récepteur, qui est une surface photosensible. On place à 180 mm du récepteur une lentille $L_1$ de focale $f'_1 = -90$ mm. (figure 1)

1) Est-il possible de voir quelque chose sur le récepteur?
2) On place ensuite une lentille $L'$ à 180 mm du document (figure 2). Déterminer sa focale pour obtenir une image sur le récepteur.
3) Quelle est la taille de l'image pour un document en format A4?
4) $L'$ est en réalisté un système de deux lentilles $L_2$ et $L_3$
  accolées, avec $L_2$ identique à $L_1$. On déplace $L_3$ pour
  l'accoler à $L_1$. Montrer que cette position permet de former
  l'image sur le récepteur. Quelle est alors la taille de l'image pour
  un document en format A4? 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

• abeilles.png
• lentilles_photocopieur.jpg