Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $p\in \N^*$, on note $E=\mathfrak M_p(\mathbb K)$ où $\mathbb K = \mathbb R$ ou $\mathbb K = \mathbb C.$ 

                         $\forall A\in E,$ $\|A\| =\displaystyle \max_{1\leqslant i \leqslant p} \sum_{j=1}^p |a_{i,j}|$

1. (a) Montrer que $\|\cdot \|$ est une norme d'algèbre sur $E$.

    (b) Donner la définition de $\text{e}^A$ ainsi que le type de convergence.

    (c) Montrer qu'on a alors $\left\| \text{e} ^A \right\| \leqslant \text{e}^{\|A\|}$.

2. Montrer que

             $\forall A,B\in \mathfrak M_p(\mathbb K),\ \forall n\in\N^*,\ \left\|  A^n - B^n \right\| \leqslant nK^{n-1} \left\|  A - B \right\| $

    où $K=\max (\|A\|,\|B\|).$

3. Existence et calcul de $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(  \exp\left( \dfrac A n \right)  \exp\left( \dfrac B n \right)\right)^n.$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Question 2, regarder le cas $n=2$, et faire apparaître les termes parasites nécessaires.

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