Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit $A=\left ( \begin{array}{rrr}1 & -2 & -1\\-2 &4  & 2\\  3 &-6  & -3\end{array} \right ),\ C=\begin{pmatrix}A & A\\ 0 & A\end{pmatrix},\  B=\begin{pmatrix}
\alpha A & \beta A\\ 
\gamma A &0
\end{pmatrix}$

avec $\alpha,\beta ,\gamma$ tels que $\alpha +\beta =\gamma ,\ \alpha \neq 0,\ \beta \neq 0 \neq -\gamma $.

1. Montrer que $A$ est diagonalisable.

2. a) Déterminer $\chi_C$ en fonction de $\chi_A$ et en déduire le spectre de $C$.
    b) Idem pour $B$.

3. Montrer que si $X\in \operatorname{Ker} A$, alors  $\begin{pmatrix}X\\ 0\end{pmatrix}\in \operatorname{Ker} B$.

4. Montrer que $ \operatorname{dim} (\operatorname{Ker}B)\geqslant 2\operatorname{dim} (\operatorname{Ker}A)$.

5. Diagonaliser $B$ dans le cas où $\alpha=-1,\,\beta=3,\,\gamma=2$.

$\ex 2$

Soit $\begin{array}[t]{crcl}f_n :& ]-1,1[ & \longrightarrow  & \R\\  & x & \longmapsto & \sin nx\,\mathrm e^{-n^2x^2}\end{array}$ avec $n\in\N^*$. avec $n\in\N^*$.

1. Convergence simple ?
2. Convergence uniforme sur $[\alpha ,1]$ où $\alpha \in \left]0,1\right[$, puis sur $[0,1]$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Exercice 1, question 4 : Qu'en est-il du vecteur $\begin{pmatrix}0\\X\end{pmatrix}$ ? Montrer alors que la famille $\left(\begin{pmatrix}0\\X\end{pmatrix},\begin{pmatrix}X\\0\end{pmatrix}\right)$ est libre.

Exercice 2, question 2 : Regarder ce qu'il se passe en $0$, penser à une suite contre-exemple.

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