Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Exercice nº 1 :

On étudie une molécule d’ammoniac qui se déplace en se retournant comme un parapluie d’un état gauche à un état droit, tous deux stationnaires.

Première partie : Analogie avec la mécanique classique

On considère un point M se déplaçant sans frottements selon l’axe $Ox$ lié à un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$, de hauteur $d \lt l_0$ (voir schéma joint). On donne la courbe de l’énergie potentielle associée au point M.

1. Graphiquement, combien de positions d’équilibre possède-t-il le point M ? Lesquelles sont stables, instables ?

2. Les expliciter par le calcul.

3. Quel est le potentiel $V_0$ nécessaire à faire passer la particule de l’état gauche à l’état droit ?

Seconde partie : on y parlait de combinaison de deux états $\varphi_G$ et $\varphi_D$ pour former une fonction d’onde $\psi$ mais nous avons rapidement passé cette partie.

Exercice nº 2 :

On considère une plaque fixée circulaire tournant autour d’une axe $Oz$ avec une vitesse angulaire $\Omega$. On note $(O_X, O_Y, O_Z)$ le référentiel lié à la plaque et $(Ox, Oy, Oz)$ le référentiel lié au sol.
On lance en $t=0$ une bille du bord de la plaque de coordonnées $X$ et $Y$ dans le référentiel de la plaque et $x$ et $y$ dans le référentiel lié au sol, avec une vitesse initiale $-v_0 \overrightarrow{u_x}$.
Les axes $O_Z$ et $Oz$ sont confondus en permanence et en $t=0$, les axes $O_X$ et $Ox$ sont confondus.

1. Établir les équations différentielles vérifiées par $X$ et $Y$.

2. Expliciter les expressions de $x(t)$ et $y(t)$.

3. Écrire $X(t)$ et $Y(t)$ en fonction de $x(t)$, $y(t)$ (et d’autres paramètres, dont je ne me souviens plus…)

4. Ces expressions de $X$ et $Y$ vérifient-elles les équations différentielles établies à la première question ?

Commentaires divers

Pour le second exercice, après m’avoir demandé si je savais comment faire, l’examinatrice m’a autorisé à résoudre directement les équations différentielles de la première question en posant $Z = X + iY$, ce qui a bien abouti.

• Schéma_Exo1.png
• Graphe_Ep.png