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Epreuve Orale 7948

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2024

Filière : PSI

Concours : X-ENS Cachan (PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre linéaire - Produit scalaire

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

Soit $A$ une matrice symétrique de $\mathcal{M}_n(\R)$ et $B$ un vecteur de $\R^n$. On considère l'application $f:\R^n\to\R$ définie par $f:X\mapsto \dfrac12 \langle X,AX\rangle - \langle B,X\rangle$
 
1) Montrer que la fonction $f$ est minorée si et seulement si
        (a) $A$ est à valeurs propres positives, et
        (b) $B$ est dans $\operatorname{Im}A$.
 
2) Soient $A_1$, $A_2$, $B_1$,$B_2$ et $f_1$, $f_2$ définis comme ci-dessus. Montrer que si les fonctions $f_1$ et $f_2$ sont minorées et si $\|\operatorname{grad}(f_1)\|=\|\operatorname{grad}(f_2)\|$, alors $f_1=f_2$.
 
3) On suppose que la condition (a) est vérifiée.
    Montrer que
                                        $\operatorname{Im}(A_1+A_2)=\operatorname{Im}A_1+\operatorname{Im}A_2$
    puis en déduire que
                                        $\operatorname{Ker}(A_1+A_2)=\operatorname{Ker}A_1\cap\operatorname{Ker}A_2$.
 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

1) Décomposer $X$ et $B$ dans une base de vecteurs propres de $A$.

2) Remplacer $X$ par des valeurs adéquates pour montrer que $A_1=A_2$ et $B_1=B_2$.

Commentaires divers

L'examinateur a apprécié l'utilisation du DL1 pour trouver rapidement les expressions du gradient.

Fichiers joints

Commentaires

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