On définit pour tout $t > 0$ : $$ f(t) = 1 - t\,\mathrm{arctan}\left(\dfrac 1t \right).$$
Déterminer le développement limité à l'ordre $3$ en $0$ de la fonction Arctangente.
Déterminer la limite en $0$ de $f$.
Déterminer un équivalent de $f$ en $+\infty$.
Justifier la convergence de $\displaystyle\int_0^{+\infty} f(t) \mathrm dt$.
Calculer pour $x>0$ : $\displaystyle\int_0^x f(t) \mathrm dt$. Pour calculer $\displaystyle\int_0^x t\, \mathrm{arctan}\left(\frac 1t\right)\mathrm dt$, on pourra procéder à une intégration par parties.
En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)\mathrm dt$.
On considère que la fonction $f$ est prolongée par continuité en $0$ par $f(0) = 1$.
Tracer la courbe de $f$ sur $[0,6]$.
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ de la manière suivante : $g$ est paire, $2$-périodique, et pour tout $x\in [0,1]$, $g(x) = f(x)$. Écrire une fonction Python g prenant en argument un nombre flottant $x$ et renvoyant $g(x)$.
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