Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Exercice 42 de la Banque CCINP

$\ex 2$

On considère un espace euclidien $E$  dont le produit scalaire est noté, pour tous vecteurs $x$ et $y$ de $E$ : $\langle x|y \rangle$.

On fixe deux vecteurs non nuls $u$ et $v$ de $E$.

1. Pour tout vecteur $x$ de $E$, on pose : $(u \otimes v)(x) = \langle v|x \rangle u$.

1. Justifier que $u \otimes v$ est linéaire et donner son rang.
2. Déterminer les éléments propres de $u \otimes v$.
3. L'endomorphisme $u \otimes v$ est-il diagonalisable ?

2. Calculer $(u  \otimes v)^2 =(u  \otimes v) \circ (u  \otimes v) $ et retrouver le résultat de la question 1.c..

3. Soit $g$ un endomorphisme de $E$. On note $g^{\star}$ son adjoint.

Montrer que $g$ commute avec  $u \otimes v$ si et seulement si il existe un réel $\alpha$ tel que : $g(u) = \alpha u$ et $g^{\star}(v) = \alpha v$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers