Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Exercice 93 de la Banque CCINP.

$\ex 2$

Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\N$.

1. Montrer que : $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k P(X=k) = \sum_{k=0}^{n-1} P(X > k) - n P(X > n)$.
2. Montrer que si la famille $(P(X > k))_{k \geqslant 0} $ est sommable, alors $X$ admet une espérance finie.
3. Etude de la réciproque : montrer que si $X$ admet une espérance finie, alors la suite $(nP(X>n))_{n \geqslant 1}$ converge vers $0$ et que $\displaystyle E(X) = \sum_{k=0}^{+\infty} P(X > k)$.
4. Application : on considère une urne contenant $N$ boules identiques numérotées de 1 à $N$. On effectue $n$ tirages avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au plus grand nombre tiré au cours des $n$ tirages.

1. Calculer $P(X \leqslant k)$ et en déduire la loi de $X$.
2. Montrer, à l'aide d'une somme de Riemann, que la suite $\displaystyle \left(\frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N-1} \left(\frac{k}{N} \right)^n \right)_{N \geqslant 1}$ admet une limite finie et la calculer. 
3. En déduire que $\displaystyle \lim_{N \rightarrow + \infty} \frac{E(X)}{N} = \frac{n}{n+1}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers