Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On munit $E=\R_n[X]$ du produit scalaire défini par :

                      $\forall P,Q\in\R_n[X],\ (P|Q)=\displaystyle\int_0^1PQ$.

1) Montrer que l'application $u$ définie sur $E$ par : 

                            $\forall P\in E,\ u(P)=\displaystyle\int_0^1(X+t)^nP(t)\,\mathrm dt$

    est un endomorphisme autoadjoint de $E$.

2) En déduire qu'il existe une base orthonormee $(P_0,\ldots ,P_n)$ formée de vecteurs propres de $u$.
    ► On note $\lambda_0\ldots,\lambda_n$ les valeurs propres associées.

3) Montrer que :

                         $\forall (x,y)\in\R^2,\ (x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\lambda_kP_k(x)P_k(y)$.

    En déduire la valeur de $\mathrm{tr}(u)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers