Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soient $p$ et $q$ des projections orthogonales d'un espace euclidien $E$.

1. Montrer que : $\forall x\in E,\;\|p(x)\|\leqslant\|x\|$.

2. En déduire que toute valeur $\lambda$ propre de $p\circ q$ vérifie $|\lambda|\leqslant 1$.

3. Montrer que : $\forall x\in E,\;(x|p(x))=\|p(x)\|^2$.
    En déduire que toute valeur $\lambda$ propre de $p\circ q$ vérifie : $\lambda\geqslant 0$.

4. Soit $f=p\circ q\circ p$.

    a) Montrer que $f$ est un endomorphisme autoadjoint, puis que $\operatorname{Im}p$ est stable par $f$.
    b) Soient $G$ et $H$ des sous-espaces vectoriels de $E$.
         Montrer que $(G+H)^\perp=G^\perp\cap H^\perp$. En déduire $(\operatorname{Im} p+\operatorname{Ker} q)^\perp$.
    c) Soit $x\in \operatorname{Ker} p+\operatorname{Im} q$. Déterminer $(p\circ q)(x)$.
    d) Montrer que $p\circ q$ est diagonalisable.

$\ex 2$ 

Soient $P,Q\in\R[X]$ non nuls tels que

                        $P=\prod_{i=1}^n(X^2+a_iX+b_i)$ et $Q=\prod_{i=1}^n(X^2+c_iX+d_i)$

avec les $X^2+a_iX+b_i$ et $X^2+c_iX+d_i$ irréductibles dans $\R[X]$.

On suppose que $\dfrac{P(X)}{Q(X)}=\dfrac{P(0)}{Q(0)}$.

1) Montrer que $P$ et $Q$ ont les mêmes racines complexes.
2) Montrer qu'il existe $\sigma\in \mathcal S_n$ tel que : $\forall \in[\![1,n]\!],\;c_i=a_{\sigma(i)}\;\textrm{ et } \;d_i=b_{\sigma(i)}.$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
Énoncé fourni par l'étudiant plutôt incertain pour l'exercice 2.