Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1) A l'aide de PYTHON, déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de $A=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&1&1\\0&1&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}$.

2) Implémenter en PYTHON la suite $(w_k)_{k\in\N}$, définie par $w_0=w$ et $w_{k+1}=\frac{1}{\|Aw_k\|}Aw_k$ avec $w=\tt{numpy.random(4,1)}$.

3) On note $(\lambda_i)_{1\leqslant i\leqslant 4}$ les valeurs propres de $A$ et $(v_i)$ les vecteurs propres associés, de telle sorte que l'on ait : $|\lambda_1|\geqslant|\lambda_2|\geqslant|\lambda_3|\geqslant|\lambda_4|$.
    Quel est l'endomorphisme $v_1v_1^T$?

4) On suppose que $P\left((w|v_1)=0\right)=0$. Calculer la limite de $(w_k)_{k\in\N}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers 

Il restait ensuite beaucoup de questions, dans lesquelles il fallait calculer un polynôme caractéristique d'une matrice et ensuite des questions de calcul différentiel avec le calcul d'une différentielle et l'etude d'un problème de minimisation.