Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

 Pour $\alpha\in\N$, avec $\alpha\geqslant 2$ et $\beta\in\left]1,+\infty\right[$, on pose :

                           $f_{\alpha,\beta}(t)=\displaystyle \sum_{n\in\N}\frac{\cos(2\pi\alpha^nt)}{\beta^n}$.

1) Donner les théorèmes de continuité et de dérivabilité des séries de fonctions.

2) On suppose que $\alpha<\beta$. Montrer que $f_{\alpha,\beta}$ est continue et dérivable sur $\R$.

3) On suppose que $\alpha\geqslant \beta$. Montrer que  $f_{\alpha,\beta}$ n'est pas dérivable en $0$.
    En déduire une condition pour que $ f_{\alpha,\beta}$ soit de classe $\mathcal{C}^k$, mais non $\mathcal{C}^{k+1}$ sur $\R$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers