Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit $ A\in \mathfrak M_n(\R)$ telle que :

             $\forall i \in [\![1,n]\!],\,\forall j \in [\![1,n]\!],\  a_{i,j} =\left\{\begin{matrix}4 & \text{ si } & i=j\\ 1 & \text{ si } & i\neq j\end{matrix}\right.$

Étudier la diagonalisabilité de $A$ et donner ses éléments propres.

$\ex 2$

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n,\,p$.
Soit $Y$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[\![1,n]\!]$.
On suppose $X$ et $Y$ indépendantes.

Soit $Z$ la variable aléatoire définie par  :

                          $Z(\omega)=\left\{\begin{matrix}X(\omega) & \text{ si } & X(\omega)\neq 0\\ Y(\omega) & \text{ si } & X(\omega)=0\end{matrix}\right.$

Trouver la loi de $Z$, puis son espérance (et sa variance ?).

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers