Échangeons, communiquons ...
Année : 2023
Filière : PSI
Concours : Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Diagonalisabilité - Variables aléatoires
Énoncé(s) donné(s)
$\ex 1$
Soit $ A\in \mathfrak M_n(\R)$ telle que :
$\forall i \in [\![1,n]\!],\,\forall j \in [\![1,n]\!],\ a_{i,j} =\left\{\begin{matrix}4 & \text{ si } & i=j\\ 1 & \text{ si } & i\neq j\end{matrix}\right.$
Étudier la diagonalisabilité de $A$ et donner ses éléments propres.
$\ex 2$
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n,\,p$.
Soit $Y$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[\![1,n]\!]$.
On suppose $X$ et $Y$ indépendantes.
Soit $Z$ la variable aléatoire définie par :
$Z(\omega)=\left\{\begin{matrix}X(\omega) & \text{ si } & X(\omega)\neq 0\\ Y(\omega) & \text{ si } & X(\omega)=0\end{matrix}\right.$
Trouver la loi de $Z$, puis son espérance (et sa variance ?).
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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