Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit $I=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac {\sin t}{\operatorname{sh}t}\,\mathrm dt$.

1. Montrer que $I$ converge.
2. Montrer que :
                             $\forall t\in\left]0,+\infty\right[,\ =2\mathrm e^{-t}\sin t\cdot\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\mathrm e^{-2nt}$.
3. Montrer que :
                                $I=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac 2{(2n+1)^2+1}$.

 4. Montrer que :  $\dfrac \pi 4\leqslant I \leqslant 1+\dfrac \pi 4$.

$\ex 2$

Soit $\varphi$ l'application qui au polynôme $P\in\R_3[X]$ associe le reste de la division euclidienne de $X^2P$ par $X^4-1$.

1. Prouver que $\varphi$ est un endomorphisme.
2. $\varphi$ est-elle diagonalisable ? Déterminer ses valeurs propres et les vecteurs propres associés.
3.  La matrice $A$ représentant $\varphi$ est-elle inversible ? Si oui, donner son inverse.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Exercice 1 : Série-intégrale / Convergence d'intégrale / sinus hyperbolique.

Exercice 2 : Éléments propres / Division euclidienne / Matrice inversible.

• Exercice 2 Maths CCINP.png
• Exercice 1 Maths CCINP.png