Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles
Échangeons, communiquons ...
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Année : 2023
Filière : PSI
Concours : Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Convergence de série - Équation de matrice - Suites de fonctions - Trace d'une matrice
Énoncé(s) donné(s)
$\ex 1$
Soit $(u_n)_{n\in\N^*}$ définie par : $\forall n\in\N^*,\ u_n=\displaystyle\left(n\sin\frac 1n\right)^{n^2}$.
Déterminer $\ell=\lim\limits_{n\to +\infty}u_n$.
$\ex 2$
Soit $A\in\mathfrak M_n(\R)$ telle que $A^3+A^2+A=0$.
Démontrer que $\text{Tr}\,A\in\Z$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
28/08/2023 à 10:59
Exo 1: Passer à l'exp(log(...)) et s'en sortir facilement avec des DL à l'ordre > 2.
Exo 2: P(X) = X(X²+X+1) annule A. Si A=0, c'est trivial. Sinon, 0 est une VP de multiplicité q et les racines de X²+X+1 sont conjuguées de partie réelle égale à -1/2. Tr(A) = (n-q)*2*Re(x_1) = -(n-q)