Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soient $a,b\in\R$ tels que $a<b$ et $f:[a,b]\to\R$ de classe $\mathcal C^1$.

1. On pose : $\forall n\in\N^*,\ I_n=\displaystyle\int_a^bf(x)\sin nx\,\mathrm dx$.
    Montrer que $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0$.
    ► Soit $I=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x\,\mathrm dx$.

2. a) Montrer que $I$ converge.
    b) Soit, pour tout $n\in\N^*$, $K_n=\displaystyle\int_0^{\frac\pi 2}\frac{\sin nx}x\,\mathrm dx$.
         Montrer que $\lim\limits_{n\to+\infty}K_n=I$.
    c) On introduit $J_n=\displaystyle\int_0^{\frac\pi 2}\frac{\sin nx}{\sin x}\,\mathrm dx$. 
         Montrer que $\lim\limits_{n\to+\infty}(J_n-K_n)=0$.
    d) Montrer que, pour tout $p\in\N^*$, $J_{2p+1} =J_{2p-1}$. 
    e) En déduire la valeur de $I$.

$\ex 2$

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n\geqslant 1$ et $f\in\mathcal L(E)$ tel que la matrice $A$ dans une base soit indépendante de cette base.

1. Montrer que : $\forall P\in\mathrm{GL}_n(\R),\ AP=PA$.

2. Soit $B\in\mathfrak M_n(\R)$.
    a) Montrer qu'il existe $\lambda\in\R$ tel que $B-\lambda I_n\in\mathrm{GL}_n(\R)$.
    b) En déduire que $AB=BA$.

3. Montrer que $f$ est une homothétie.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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