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Année : 2023
Filière : PSI
Concours : CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre linéaire - Algèbre matricielle - Convergence d'intégrale - Homothétie - Suite d'intégrales
Énoncé(s) donné(s)
$\ex 1$
Soient $a,b\in\R$ tels que $a<b$ et $f:[a,b]\to\R$ de classe $\mathcal C^1$.
1. On pose : $\forall n\in\N^*,\ I_n=\displaystyle\int_a^bf(x)\sin nx\,\mathrm dx$.
Montrer que $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0$.
► Soit $I=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x\,\mathrm dx$.
2. a) Montrer que $I$ converge.
b) Soit, pour tout $n\in\N^*$, $K_n=\displaystyle\int_0^{\frac\pi 2}\frac{\sin nx}x\,\mathrm dx$.
Montrer que $\lim\limits_{n\to+\infty}K_n=I$.
c) On introduit $J_n=\displaystyle\int_0^{\frac\pi 2}\frac{\sin nx}{\sin x}\,\mathrm dx$.
Montrer que $\lim\limits_{n\to+\infty}(J_n-K_n)=0$.
d) Montrer que, pour tout $p\in\N^*$, $J_{2p+1} =J_{2p-1}$.
e) En déduire la valeur de $I$.
$\ex 2$
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n\geqslant 1$ et $f\in\mathcal L(E)$ tel que la matrice $A$ dans une base soit indépendante de cette base.
1. Montrer que : $\forall P\in\mathrm{GL}_n(\R),\ AP=PA$.
2. Soit $B\in\mathfrak M_n(\R)$.
a) Montrer qu'il existe $\lambda\in\R$ tel que $B-\lambda I_n\in\mathrm{GL}_n(\R)$.
b) En déduire que $AB=BA$.
3. Montrer que $f$ est une homothétie.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
31/08/2023 à 14:37
Exercice 2:
1) P peut être vu comme une matrice de passage, résultat immédiat
2) a) Dimension finie, nombre de VP finie
2) b) Il existe un rang r_0 tel que pour tout réel r > r_0 B - 1/r*Id est inversible d'après 2) a). Résultat par continuité
3) On remplace B par les matrices E_{i,j} et le résultat tombe.