Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

On pose : $ f(x) = \displaystyle\sum_{n = 0}^{+\infty}{ \frac{ \mathrm e^{-nx} }{1 + n^2} }$.

1. Donner le domaine de définition de $f$.
2. Montrer que $f$ est continue sur son domaine.
3. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$.
4. Donner le tableau de variation de $f$.
5. Donner la limite de $f$ en $+{\infty}$.

$\ex 2$

$A =\left( \begin{array}{rrr}
1 & -3 & \hphantom -0 \\ 
-3 & -2 & 1 \\ 
0 & 1 & 1
\end{array}\right)$.

1. Résoudre $M^2 = A$, où $M \in \mathcal{M_3}(\mathbb{C})$.
2. Résoudre $M^2 = A$, où $M \in \mathcal{M_3}(\mathbb{R})$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers