Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit $E$ un espace euclidien.

1. Soit $A$ un sous espace vectoriel de $E$. Montrer que $(A^{\perp})^{\perp} = A$.

2. Soient $F$, $G$ des sous espaces vectoriel de $E$.
    a) Montrer que $(F+G)^{\perp} = F^{\perp} \cap G^{\perp}$.
    b) Montrer que $(F \cap G)^{\perp} = F^{\perp} + G^{\perp}$.

$\ex 2$

1. Calculer $I_{2n} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^{2n}(x)  \, \mathrm{d}x$ pour tout $n\in\N$.
2. Montrer que $ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-u}} = \sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n}u^{n}$ pour tout $u\in\left]-1,1\right[$.
3. On pose $f(x) =  \displaystyle\int_{0}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}\sin^{2}t}}  \, \mathrm{d}t$.
    Justifier que $f$ est développable en série entière pour $x\in\left]-1,1\right[$, et exprimer ce développement.