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Année : 2022
Filière : MP
Concours : Banque Mines-Ponts
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Diagonalisabilité - Endomorphisme cyclique - Equivalence de normes
Énoncé(s) donné(s)
$\ex 1$
Un endomorphisme $f$ est dit cyclique dans $E$ tel que $\dim E =n$, si :
$ \exists\, x_{0} \in E: \text{Vect}(x_{0},f(x_{0}),\dots,f^{n-1}(x_{0})) = E$.
1. Soit $g$ un endomorphisme tel que sa matrice dans $\mathbb{R}^{3}$ soit:
$ G = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 6\\
1 & 0 & -11\\
0 & 1 & 6
\end{pmatrix}$
Montrer que $g$ est cyclique et diagonalisable.
2. Un endomorphisme $f$ cyclique est-il toujours diagonalisable ?
3. Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable de valeurs propres distinctes deux à deux. Est-il cyclique ?
4. Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable et cyclique.
Ses valeurs propres sont-elles distinctes deux à deux ?
$\ex 2$
Soit $E =\mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R})$.
On pose pour tout $f\in E$ : $\|f\|_{1} = \displaystyle\int_{0}^{1} \left|f(x)\right| \, \mathrm{d}x$ et:
$N_{1}(f) = \|f \|_{1} + \|f' \|_{1}$ et $N_{2}(f) = |f(0)| + \|f' \|_{1}$.
1. Montrer que $N_{1}$ et $N_{2}$ sont des normes.
2. $N_{1}$ et $N_{2}$ sont-elles équivalentes ?
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