Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Un endomorphisme $f$ est dit cyclique dans $E$ tel que $\dim E =n$, si :

                $ \exists\, x_{0} \in E: \text{Vect}(x_{0},f(x_{0}),\dots,f^{n-1}(x_{0})) = E$.

1. Soit $g$ un endomorphisme tel que sa matrice dans $\mathbb{R}^{3}$ soit:

                                   $ G = \begin{pmatrix}
                                           0 & 0 & 6\\
                                          1 & 0 & -11\\
                                           0 & 1 & 6
                                             \end{pmatrix}$

     Montrer que $g$ est cyclique et diagonalisable.

2. Un endomorphisme $f$ cyclique est-il toujours diagonalisable ?

3. Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable de valeurs propres distinctes deux à deux. Est-il cyclique ?

4. Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable et cyclique.
    Ses valeurs propres sont-elles distinctes deux à deux ?

$\ex 2$

Soit $E =\mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R})$.
On pose pour tout $f\in E$ : $\|f\|_{1} = \displaystyle\int_{0}^{1} \left|f(x)\right| \, \mathrm{d}x$ et:

           $N_{1}(f) = \|f \|_{1} +  \|f' \|_{1}$  et  $N_{2}(f) = |f(0)| +  \|f' \|_{1}$.

1. Montrer que $N_{1}$ et $N_{2}$ sont des normes.

2. $N_{1}$ et $N_{2}$ sont-elles équivalentes ?