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Année : 2022
Filière : MP
Concours : Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Convergence simple/uniforme - Valeurs propres
Énoncé(s) donné(s)
$\ex 1$
Pour $n\in\N^*$, soit $f_n : x\mapsto \min\left(n,\dfrac{x^2}n\right)$, définie sur $\R$.
Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite $(f_n)$ sur des ensembles à préciser.
$\ex 2$
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ à coefficients dans $[0,1]$, telle que pour tout $i\in[\![1,n]\!]$, $\sum_{j=1}^na_{i,j}=1$.
1. Montrer que $1$ est valeur propre de $A$.
2. Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$.
Montrer que $|\lambda|\leqslant 1$ et que pour $\omega>0$, $|\lambda-\omega|\leqslant 1-\omega$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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