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Epreuve Orale 7119

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2022

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre linéaire - Déterminant - Espace euclidien - Nombres premiers - Norme

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$ (à préparer sur feuille pendant 10-15 minutes)

Soit $n\in \mathbb{N}^*$ et $A\in \mathcal{M}_n (\mathbb{R})$.

1. Montrer que, $\forall \lambda \in \mathbb{R}_+,\ \det(\lambda A^2 + I_n) \geqslant 0$.

2. On suppose maintenant que $A$ est antisymétrique.
    Montrer que le résultat précédent est alors valable pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$.

$\ex 2$ (donné à l'oral)

Soit $E = \mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire canonique noté $\langle\cdot,\cdot\rangle$ associé à la norme $\|\cdot \|$.
On note $N$ une norme quelconque sur $E$.

1. Soit $x\in E$ Après avoir justifié l'existence de ces nombres, montrer que

       $\sup\limits_{y\in E\setminus \{0\}} \frac{\langle x,y\rangle}{N(y)} = \sup\limits_{y\in E,\, N(y) = 1} \langle x,y\rangle  \in \mathbb{R}_+$.

    On note dorénavant cette quantité $N^* (x)$.

2. Montrer que $N^*$ définit une norme sur $E$

    (l'examinateur m'explique qu'on l'appelle «norme duale» de $N$).

3. Donner $N^*$ dans les cas où $N = \|\cdot \|$, $N = \|\cdot \|_{\infty}$ et $N = \|\cdot \|_1$.

    On rappelle que si $\alpha > 0$ alors $\|\,^t(x_1,\dots,x_n)\|_{\alpha} = (\sum_{k=1}^{n} |x_k| ^{\alpha})^{\frac{1}{\alpha}}$.

$\ex 3$

Montrer qu'aucun des nombres de la forme $10001, 100010001\dots$ n'est premier.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour l'exercice 3, donner la formule explicite de la suite décrite et procéder par récurrence forte en séparant les cas des rangs pairs et impairs. Si $u_n = \sum_{k=0}^n 10^{4k}$, utiliser la formule de la série géométrique et chercher des factorisations judicieuses selon que $n = 2p$ ou $n = 2p+1$.

Commentaires divers

L'examinateur est sorti de la salle pendant que je préparais le premier exercice et m'écoutait donner ma réponse sans me regarder. Il aquiesçait quand je mentionnais les arguments principaux.

A la fin du deuxième exercice, il m'a expliqué que si $p$ et $q$ sont des réels positifs tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, alors la norme duale de $\|\cdot \| _p$ est $\|\cdot \| _q$ ($p = 1$ et $q=+\infty$ fonctionne).

Je n'ai pas eu le temps de terminer le troisième et avais très peu d'idées malgré les indications données. Cela ne m'a pas empêché d'avoir une très bonne note !

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