Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soient $a_0 < \dots< a_n$ des entiers distincts. On note $A=(a_0,...,a_n )$.
Pour $P\in \mathbb{R}_n [X]$, on note $\|P\| _A = \max\limits_{0\leqslant k\leqslant n} |P(a_k)|$.

1. Montrer que $\|\cdot \|_A$ définit une norme sur $\mathbb{R}_n [X]$.
    On note désormais $d_{A,n}=\inf\{\|X^n-P\|_A\  /\ P\in \mathbb{R}_{n-1} [X]\}$.

2. (Question Python) Pour la question suivante, on pourra utiliser la fonction $\tt fmin$ du module $\tt scipy.optimize$. Cette fonction prend deux arguments : une fonction $f$ à minimiser et un argument de départ $x_0$ (que l’on pourra prendre nul). On rappelle que $\tt fmin(f,x_0 )$ renvoit la valeur inférieure atteinte par $f$ et une valeur de $x$ telle que $f(x)$ soit proche de cette borne inférieure.
 A l’aide de $\tt Python$, calculer $d_{(0,1),1}$ et $d_{(0,1,2),2}$. (Fin de la partie Python).

3. Soit $P\in \mathbb{R}_{n-1} [X]$.
    Montrer qu’il existe un unique $(b_0,\dots,b_n )\in \mathbb{R}^{n+1}$ tel que
                          $\displaystyle X^n-P = \sum_{k=0}^n b_k \prod_{j=0,j\neq k}^n (X-a_j)$
    Exprimer $b_k$ pour tout $k$ en fonction des $a_0,\dots,a_n$ et des $P(a_0 ),\dots,P(a_n )$.

4. Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^n b_k$.

5. Montrer que, pour tout $k\in [\![0,n]\!]$ on a

                     $\displaystyle\prod_{j=0, j\neq k}^n |a_k - a_j| \geqslant \frac{n!}{\binom{n}{k}}$

6. En déduire que $\|X^n - P\|_A \geqslant \dfrac{n!}{2^n}$.

7. Pour tout $n$ et pour $A=(0,1,\dots,n)$, donner la valeur de $d_{A,n}$.
   (Question intermédiaire qui acheva mon passage : montrer que $d_{A,n}$ est atteinte)

8. $\|\cdot \|_A$ est-elle associée à un produit scalaire ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour la question 6, réécrire l'inégalité de la 5 comme une minoration de $\binom{n}{k}$, et utiliser la définition des $b_k$ (Question 3) et la question 4 pour faire apparaître $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.

Commentaires divers
Examinateur sympathique. Il m'a précisé que la valeur obtenue à la question $\tt Python$ lui importait peu et qu'il voulait simplement vérifier que mon programme tenait la route.