Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension $n\in \mathbb{N}^*$. On note $\mathcal{L} (E)$ l’ensemble des endomorphismes de $E$ et on note $E^*$ son dual, i.e. l’espace des formes linéaires sur $E$ (à valeurs dans $\mathbb{C}$, donc).
On se donne $A\subseteq \mathcal{L}(E)$. On dit que $A$ est $trigonalisable$ s'il existe une base de trigonalisation commune à tous ses éléments. On suppose dans tout l'exercice que les éléments de $A$ commutent deux à deux.

1. On définit, pour $u\in \mathcal{L}(E)$, l'application
   $\ ^T u :\{ \begin{array} \ \varphi \to \varphi \circ u \\ E^* \to E^* \end{array}$
   Montrer que $\ ^T u \in \mathcal{L} (E^*)$.
2. Donner une condition sur $u$ et $v$ de $\mathcal{L}(E)$ pour que $^T u$ et $^T v$ commutent.
3. Montrer que les endomorphismes de $A$ admettent un vecteur propre commun.
4. En déduire que $A$ trigonalisable.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour les questions 3 et 4, procéder par récurrence sur la dimension de l'espace $E$. Pour la question 4, il faut utiliser les résultats précédents nécessairement.

Commentaires divers

J'étais un peu surpris quand l'examinateur m'a dit que je devais utiliser les questions précédentes pour la 4, alors que j'avais commencé une récurrence sur la taille des matrices associées aux endomorphismes de $A$. Cela m'a d'ailleurs empêché de terminer l'exercice...