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Année : 2022
Filière : MP
Concours : Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre linéaire - Formes linéaires - Réduction des endomorphismes
Énoncé(s) donné(s)
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension $n\in \mathbb{N}^*$. On note $\mathcal{L} (E)$ l’ensemble des endomorphismes de $E$ et on note $E^*$ son dual, i.e. l’espace des formes linéaires sur $E$ (à valeurs dans $\mathbb{C}$, donc).
On se donne $A\subseteq \mathcal{L}(E)$. On dit que $A$ est $trigonalisable$ s'il existe une base de trigonalisation commune à tous ses éléments. On suppose dans tout l'exercice que les éléments de $A$ commutent deux à deux.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour les questions 3 et 4, procéder par récurrence sur la dimension de l'espace $E$. Pour la question 4, il faut utiliser les résultats précédents nécessairement.
Commentaires divers
J'étais un peu surpris quand l'examinateur m'a dit que je devais utiliser les questions précédentes pour la 4, alors que j'avais commencé une récurrence sur la taille des matrices associées aux endomorphismes de $A$. Cela m'a d'ailleurs empêché de terminer l'exercice...
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