Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On se donne une fonction $f:\mathbb R\setminus\mathbb Z\to\mathbb R_+$ continue et 1-périodique. On suppose que $f$ est intégrable sur $]0,1[$. Montrer que pour tout $\theta\in\mathbb R$, on a $$\lim_{n\to\infty}\frac1n\int_0^1\left(\sum_{k=0}^{n-1}f(t+k\theta)^2\right)^{1/2}~\mathrm dt=0.$$ On commencera par donner un sens à cette intégrale.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pas grand chose.

Commentaires divers

Il s'agissait de l'oral spécifique à l'ENS Ulm, aussi est-il normal de ne pas résoudre l'exercice d'une traite/tout seul.

L'examinateur ne m'aidait pas vraiment, c'est aussi ce qui est arrivé à mes camarades pour cette épreuve. Il disait parfois que j'allais dans une bonne direction mais ne me donnait pas de nouvelle idée pour mener à bien ma piste, et je n'ai pas beaucoup avancé.

J'ai finalement eu une bonne note (15/20), donc cela montre qu'il est difficile de s'évaluer sur un oral de ce type. Mon conseil est de dire absolument tout qui nous semble intéressant et qui pourrait donner quelque chose, même si c'est très vague : quand les examinateurs font le choix de ne pas nous aider sur un exercice très difficile (ce qui semblait être un choix général), toute bonne remarque est valorisée.